Detail projektu

Paralelní zpracování výpočetně náročných inženýrských úloh - etapa III

SP2011/183

Kozubek Tomáš prof. Ing., Ph.D.

01. 01. 2011 - 31. 12. 2011

1. Úvod Předkládaný projekt navazuje na dílčí výsledky řešení stejnojmenného víceletého projektu IGS, jehož první etapa byla zahájena v roce 2009. V jeho poslední třetí etapě chceme dokončit, příp. dále rozšířit stávající výstupy, zefektivnit implementované metody a pokračovat v jejich testování. Právě masivní testování a nasazení vyvinutých paralelních algoritmů na řešení rozsáhlých inženýrských úloh je hlavním cílem celého projektu. Dílčím cílem této etapy je také aktivní zapojení týmu do řešení mezinárodního projektu PRACE-1IP. 2. Cíle projektu Navázat na výsledky předchozí etapy a pokračovat v rozvoji efektivních matematických metod pro řešení problémů, které jsou v současné době díky svému rozsahu, nehladkosti nebo nelinearitě na hranici řešitelnosti. Tyto metody jsou postupně zapojovány do řešení vybraných komplexních vědeckých a inženýrských problémů v mechanice, akustice, molekulární dynamice, elektromagnetismu, spintronice, magneto-optice, analýze obrazu a v dalších oblastech. Předkládaný projekt se zaměřuje na vývoj paralelních algoritmů pro výpočetně náročné úlohy a jejich aplikace. V rámci této etapy budou dále zefektivněny a rozšířeny vyvíjené paralelní algoritmy stávajících knihoven PetSc., OOSol a MatSol a některých nových knihoven vzniklých při řešení dílčích proprietálních problémů. 3. Historie týmu Předkladatel je autorem 17 impaktovaných publikací a spoluřešitelem celé řady domácích projektů GAČR, AVČR, MŠ, MS kraje a mezinárodních projektů PRACE 1IP a ESF OPTPDE. Od roku 2007 docent na VŠB-TU, název habilitační práce: "Aplikace metody fiktivních oblastí a waveletů na řešení parciálních diferenciálních rovnic". Účastníci týmu se podíleli v posledních 3 letech na více než 20 impaktovaných publikacích a 8 projektech GAČR, 2 grantech AVČR, projektu MS kraje Floreon+, Výzkumném záměru a 2 mezinárodních projektech PRACE 1IP a ESF OPTPDE. 4. Výstupy předchozí etapy Granty V roce 2010 byla podána žádost o projekt GAČR Molekulové klastry za nenulových tlaků (R. Kalus, D. Lukáš), jedna žádost o postdoktorský grant (M. Sadowská) a žádost o projekt OPVK Spolehlivé modelování nelineárních úloh mechaniky (T. Kozubek). Impaktované publikace za II. etapu řešení projektu (pouze vyšlé a přijaté v roce 2010) 1. Dostál, Z., Kozubek, T., Vondrák, V., Brzobohatý, T., Markopoulos, A.: Scalable TFETI algorithm for the solution of multibody contact problems of elasticity. Int J Numer Meth Eng 82,No. 11, pp. 1384-1405 (2010). 2. Dostál, Z., Kozubek, T., Horyl, P., Brzobohatý, T., Markopoulos, A.: Scalable TFETI algorithm for two dimensional multibody contact problems with friction. J Comput Appl Math. 2010, 235(2), pp. 403-418 (2010). 3. Dostál, Z., Kozubek, T., Markopoulos, A., Brzobohatý, T., Vondrák, V., Horyl, P.: Theoretically supported scalable TFETI algorithm for the solution of multibody 3D contact problems with friction. CMAME 2010 (přijato). 4. Kovář, P., Fronček Dalibor, Kubesa, M.: Decomposition of complete graphs into blown-up cycles C_m[2]. Discrete mathematics 310(5), pp. 1003-1015 (2010). 5. Kovář, P., Fronček D., Kovářová T., Kubesa, M.: Factorizations of complete graphs into caterpillars of diameter 5. Discrete Mathematics 310(3), pp. 537-556 (2010). 6. Kovář, P., Feňovčíková A., Bača, M., Shafiq, M.K.: On Super $(a,1)$-Edge-Antimagic Total Labelings of Regular Graphs. Discrete Mathematics 310(9), pp. 1408–1412 (2010). 7. Kovář, P.: Decompositions and factorizations of complete graphs. Ed. M. Dehmer, New York:Springer 7, pp. 169-196, 978-0-8176-4788-9 (2010). 8. Kovář, P., Fronček, D., Kovářová, K.: Constructing Distance Magic Graphs From Regular Graphs. Journal of combinatorial mathematics and combinatorial computing 2010 (přijato). 9. Lukáš, D., Postava, K., Životský, O. Optimization of Electromagnet for High-Field Polar Magneto-Optical Microscopy, Journal of Magnetism and Magnetic Materials 322(9-12), pp. 1471-1474 (2010). 10. Sadowská, M., Dostál, Z., Kozubek, T., Markopoulos, A., Bouchala, J.: Scalable total BETI based solver for 3D multibody frictionless contact problems in mechanical engineering, Engineering Analysis with Boundary Elements, 2010 (přijato). 11. Vondrák, V., Kozubek, T., Markopoulos, A., Dostál, Z.: Parallel solution of contact shape optimization problems based on Total FETI domain decomposition method, Structural and multidisciplinary optimization 42(6), pp. 955-964 (2010). Pozn. Dalších 6 impaktovaných publikací je v přípravě nebo zaslané editorům. Implementované paralelní knihovny MatSol: Byla vytvořena nová verze knihovny postavená na objektově orientovaných prostředcích Matlabu. K paralelizaci bylo použito prostředí Matlab Distributed Computing Engine firmy Mathworks. Byly implementovány další typy konečných prvků, nově vyvinuté faktorizace singulárních matic a nové škálovatelné algoritmy kvadratického programování. Tímto se značně rozšířila aplikovatelnost MatSolu na řadu rozsáhlých inženýrských úloh mechaniky o miliónech stupních volnosti. Např. byla provedena analýza napětí ocelové výztuže používané v hornictví, ložiska větrné elektrárny a částí auta, konkrétně dveří a světlometu. OOSol: Byly implementovány distribuované matice v prostředí MPI i CORBA (plná i řídká verze) – otestována paralelní škálovatelnost operace matice x vektor až do 128 jader. Dále byly implementovány faktorizace distribuované blokově diagonální matice, vytvořeny třídy IOOSoperator zobecňující znovupoužití algoritmů pro řešení různých typů úloh a paralelní verze metody sdružených gradientů, která byla testována na paralelní škálovatelnost do 128 jader. Vznikl systém unit testů. Dílčí knihovny: - knihovna algoritmů pro faktorizaci kompletního grafu daného řádu na isomorfní kostry (C++), - paralelní multigrid-SMALE-TFETI pro 3D magnetostatiku (v C++), - paralelní ACA-BEM pro akustiku (v C++), - simulace oběžných drah planet a Lennard-Jonesových interakcí částic (v Matlabu), - knihovna algoritmů pro lokalizaci duhovky v digitálním snímku oka (C++). 5. Popis řešení a výstupy III. etapy Tým 1. Distribuované datové struktury a paralelní algoritmy (Řešitelský tým: Doc. Mgr. Vít Vondrák, Ph.D., Ing. David Horák, Ph.D., Ing. Pavla Kabelíková, Ing. Martin Stachoň, Ing. Václav Hapla, Bc. Michal Merta, Bc. Jan Zapletal, Ing. Aleš Ronovský, Matyáš Theuer) Řešení mnoha technických problémů je redukováno na řešení soustav lineárních rovnic se speciální maticí velké dimenze. Náročnost řešení rozsáhlých soustav byla podnětem pro vývoj efektivních algoritmů. Jedna z úspěšných tříd metod je založena na principu “rozděl a panuj”, spočívající v rozložení oblasti na jednoduché podoblasti, definici dílčích okrajových úloh a iteračního procesu pro tvorbu řešení z řešení problémů lokálních. Tyto metody mohou být velmi efektivně implementovány pro použití na masivně paralelních počítačích. K tomu však potřebují řadu podpůrných nástrojů, jejichž vývoj je hlavním cílem této části projektu. V předchozí etapě řešení projektu se tým zaměřil na vytvoření distribuovaných datových struktur a na implementaci paralelních a distribuovaných algoritmů pro řešení rozsáhlých inženýrských úloh pomocí metod rozložení oblasti založených na FETI. Prvně byl vytvořen modul pro distribuované matice, plné i řídké, a to jak ve verzi využívající MPI knihovnu, tak založené na CORBA technologii. Nově vytvořené struktury byly doplněny o potřebné paralelní verze BLAS rutin a testovány na paralelní škálovatelnost operací matice krát vektor. Dále byla implementována distribuovaná verze faktorizace blokové matice, nebytná pro implementaci duálních algoritmů. Poměrně značná část činnosti týmu byla věnována refaktoringu hierarchie tříd algoritmů (OOSsolver) a problémů (OOSproblem). Byl vytvořen systém operátorů (IOOSoperator) zobecňující implementaci algoritmů pro různé třídy úloh. Z tohoto důvodu se podařilo implementovat pouze paralelní verzi metody sdružených algoritmů. Ta byla úspěšně testována na paralelní škálovatelnost až do 128 jader (více není v současnosti na VŠB-TUO k dispozici). Ve třetí etapě se proto výzkumný tým zaměří na dokončení paralelní implementace algoritmů pro FETI metodu a jejich testování na paralelní škálovatelnost na reálných úlohách. Za tímto účelem bude vytvořeno i rozhraní mezi knihovnou MatSol a OOSol tak, aby mohly být řešeny složité inženýrské úlohy vytvořené knihovnou MatSol. Tyto implementace však budou nejdříve vyžadovat dokončení refaktoringu hierarchie tříd algoritmů. Výsledná knihovna bude masivně testována na paralelní i numerickou škálovatelnost a následně optimalizována. Cílem je dosáhnout škálovatelnosti metod přesahující 10tis. podoblastí a 10mil. neznámých. Tým 2. Úlohy výpočetní mechaniky (Řešitelský tým: Ing. Oldřich Vlach, Ph.D., Ing. Marie Sadowská, Ph.D., Ing. Petr Beremlijski, Ph.D., Doc. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D., Mgr. Petr Vodstrčil, Ph.D., RNDr. Marek Lampart, Ph.D., Ing. Lukáš Mocek, Bc. Martin Hasal, Rajko Ćosić) Při zkoumání a návrhu mechanických vlastností součástí systému je výhodné použít metod matematického modelování, zejména pro jejich nižší náročnost oproti metodě „vyrob/naměř“. Aby numerické řešení matematického modelu bylo dostatečně přesné, je nutno počítat na dostatečně husté síti, což vede k řešení rozsáhlých soustav rovnic. Jednou z efektivních možností řešení těchto úloh je paralelizace řešení prostřednictvím např. FETI metody rozložení oblastí. Zmíněná metoda umožňuje nasazení těchto úloh na výpočetní klastry a jejich masivní paralelizaci. V této sekci se chceme zaměřit na následující třídy problémů: - Kontaktní úlohy mechaniky jsou intenzivně zkoumanou a velmi náročnou oblastí. My se zaměříme na paralelizaci vyhledávání kontaktních zón a aplikaci předpodmínění, které je pro kontaktní problémy významné. Dále máme v úmyslu obohatit řešení těchto úloh pomocí metody hraničních prvků a rozšířit aplikovatelnost MatSolu na úlohy kvazistatiky a plasticity. - Úlohy tvarové optimalizace s kontakty představují výpočetně náročné problémy složené ze dvou částí. První z nich je samotná úloha tvarové optimalizace, kterou je třeba vhodně formulovat, zvolit vhodnou (hladkou/nehladkou) metodu pro její řešení a navrhnout tzv. citlivostní analýzu, kterou potřebujeme pro iterační řešení dané úlohy. Druhou částí je efektivní řešení stavové úlohy pro každý aktuální navržený tvar součásti s odpovídající modifikací diskretizační sítě. Zde lze s výhodou k diskretizaci úlohy použít metodu hraničních prvků a generovat síť pouze na hranici oblasti. - Škálovatelné algoritmy jsou významnou ingrediencí při masivní paralelizaci inženýrských úloh. Na Katedře aplikované matematiky VŠB-TUO jsou tyto algoritmy dlouhodobě vyvíjeny za účelem řešení rozsáhlých úloh mechaniky. Tyto algoritmy jsou založeny na kombinaci metody rozložení oblastí a metod na řešení úloh kvadratického programování s omezeními. V předchozí etapě jsme rozšířili možnosti MatSolu o sériové řešení nehladkých úloh tvarové optimalizace. Srovnali jsme řešení 3D úloh tvarové optimalizace získané metodou konečných i hraničních prvků. Byla implementována rychlá metoda Fast Multipole pro řídkou reprezentaci matice Steklov-Poincarého operátoru ve 2D. Dále bylo otestováno předpodmínění algoritmů pro řešení kontaktních úloh a analyzovány možnosti paralelního vyhledávání kontaktních zón. Ve třetí etapě bude sepsán popularizační text o metodě hraničních prvků. Bude se pokračovat v rozšiřování MatSolu o paralelní řešení nehladkých úloh tvarové optimalizace a úloh kvazistatiky a plasticity. Metody ACA a Fast Multipole budou začleněny do MatSolu za účelem efektivního využití metody hraničních prvků. Bude provedeno další zefektivnění vyhledávání kontaktů. V plánu je také pokračovat ve vývoji škálovatelných řešičů pro úlohy kvadratického programování s omezeními. Tým 3. Paralelní výpočty v akustice, elektromagnetickém záření a molekulární dynamice (Řešitelský tým: Ing. Dalibor Lukáš, Ph.D., Ing. Martin Kramář, Ing. Vojtěch Sokol, Ing. Martin Menšík, Ing. Lukáš Pospíšil, Lukáš Malý, Mgr. Kristina Rádková) Cílem výzkumu je vyvinout paralelní metody výpočtu šíření akustických a elektromagnetických vln a aplikovat je např. na odhlučnění železničních kol nebo na vývoj nových materiálů pro integrovanou optiku. Úlohy jsou formulovány na neomezených oblastech a přirozeně vedou na použití metody hraničních prvků. Výsledné soustavy se zřeďují tzv. hierarchickým clusterováním a výpočet, např. neúplným LU-rozkladem, lze dobře paralelizovat. Paralelizace je potřebná zejména pro vysoké kmitočty záření, kde narůstá počet neznámých a požadavky na celkovou paměť jsou v desítkách GB. Podobné algoritmy lze využít i pro výpočty molekulárně-dynamických systémů, kde masivní paralelizace je již nezbytná i pro relativně malé systémy o tisících molekulách. Přidělené prostředky umožní rozšířit oblasti výzkumu, na což chceme navázat v rámci projektu IT4I. Vyvinuté metody budou průběžně testovány na aplikacích ve spolupráci s týmem Prof. Pištory a Doc. Postavy z Institutu fyziky a Prof. Čapkové z Centra nanotechnologií. Ve druhé etapě byl implementován řešič pro 3D magnetostatiku na bázi multigridu, SMALE a FETI a testován na superpočítači Hector (16. na světě) během měsíční stáže D. Lukáše a M. Menšíka v EPCC Edinburk. Byla nastudována teorie funkcionálů hustoty a finitní řešiče vlastních čísel. Byl proveden výpočet spektra atomu vodíku pomocí metody konečných prvků a srovnán s analytickými vzorci. Navíc byla realizována a úspěšně otestována paralelní implementace ACA-BEM pro Helmholtzovu rovnici a implementována simulace oběžných drah planet a Lennard-Jonesových částicových systémů. Také byla navržena hraniční integrální formulace 3D spintroniky v rámci spolupráce s dr. Hamrlem z Katedry fyziky. Ve třetí etapě bude nový algoritmus založený na multigridu, SMALBE a FETI aplikován na řešení 2D kontaktních úloh. Paralelní verze řešiče ACA-BEM bude aplikována na 3D spintroniku v rámci spolupráce s dr. Hamrlem z Katedry fyziky a na 3D s-polarizovanou magneto-optiku neplanárních struktur v rámci spolupráce s doc. Postavou z téže katedry. Bude se pokračovat ve vývoji řešičů založených na kombinaci multigridu, ACA-BEM a BPS. Aplikace ACA se rozšíří i na interakci částic. Budou testovány numerické metody pro výpočet spektra molekul v rámci spolupráce s doc. Kalusem z Katedry aplikované matematiky. Tým 4. Implementace metod diskrétní matematiky (Řešitelský tým: Mgr. Petr Kovář, Ph.D., Ing. Martin Čermák, Ing. Rostislav Hrtus, Bc. Adam Silber) Předpokládaný výzkum v oblasti teorie grafů sestává ze dvou částí. První se zabývá paralelní implementací úlohy nalezení rozkladu dané množiny A v systému jejich podmnožin S (DLX algoritmus). Jedná se o obecný přístup, který se využívá při hledání základních grafů ("startérů" indukčních konstrukcí). Podobný přístup již byl využit v několika našich publikacích z let 2008-2010, avšak jen v omezené míře kvůli extrémní početní náročnosti. Druhá část výzkumu se bude věnovat využití Perronova vektoru (vlastní vektor odpovídající největšímu vlastnímu číslu) pro hledání středů konečněprvkových sítí. Dále bude testováno využití spektrálních vlastností matice sousednosti k dělení sítě na podsítě definující podoblasti v metodě FETI. Vhodným dělením je totiž možné dosáhnout tzv. „load balancing“ při řešení náročných inženýrských úloh. Práce v roce 2010 v rámci modulu "Implementace metod diskrétní matematiky" se věnovala především paralelní implementaci DLX algoritmu. Algoritmus je připraven pro řešení problému faktorizace kompletního grafu daného řádu na isomorfní kostry. Navrhli jsme a implementovali postup, který umožní automatické generování vstupního souboru dat se zohledněním automorfismu faktorizujících stromů. Současně se pracovalo na nastudování tématiky související s využitím vlastních čísel a vektorů matice sousednosti grafu konečněprvkové sítě. Byly formulovány různé hypotézy týkající se využití pro stabilizaci numerického výpočtu řešení soustav lineárních rovnic a byla rozpracována algebraická důkazová technika. V rámci projektu byly zkoumány teoretické aspekty procesu tzv. "fixování vrcholů" na matici sousednosti a na Laplaceově matici s Dirichletovými nebo Neumannovými okrajovými podmínkami. S použitím spektrální teorie grafů byly definovány nové pojmy umožňující důkladnější analýzu vlivu fixování vrcholů na číslo podmíněnosti výsledné matice, zejména Laplaceovy matice s Neumannovými okrajovými podmínkami. Jednotlivé závěry byly ověřeny experimentálně a byl rozpracován teoretický důkaz. Ve třetí etapě bude dále zefektivněna a rozšířena implementace paralelního algoritmu DLX. Tento algoritmus vede společně s automatickou detekcí isomorfních struktur k efektivnímu a dobře škálovatelnému rozboru s možností nasazení na výpočetním klastru. Předpokládá se praktické využití implementovaného algoritmu pro rozbor "malých" případů obecných induktivních důkazů v oblasti faktorizace grafů na izomorfní kostry. V rámci výzkumu zaměřeném na hledání fixujících vrcholů pro stabilizaci pseudoinverze pomocí vlastních vektorů matic plánujeme dokončit teoretické zdůvodnění experimentálně dosažených výsledků podáním formálního důkazu. Tým 5. Variační metody v analýze obrazu (Řešitelský tým: Ing. Tomáš Fabián, Ing. Jan Gaura, Ing. Michal Krumnikl, Ing. Petr Kotas, Bc. Alena Vašatová, Ondřej Zjevík) S narůstajícím výkonem dnešních procesorů se stává využití variačních metod v analýze obrazu zajímavé nejen z teoretického pohledu, ale i prakticky použitelné v reálných aplikacích. Jako velice perspektivní oblastí se jeví využití variačních metod pro úlohy segmentace obrazu a optického toku. Vzhledem k výpočetní náročnosti obou problémů bude jedním z cílů vytvořit paralelní implementace vybraných algoritmů a jejich nasazení na výpočetní klastry a GPU. Dalším cílem je přizpůsobení variačních formulací aktuálním problémům. V předchozí etapě jsme měli za cíl navrhnout efektivní algoritmus pro lokalizaci duhovky v digitálním obraze. Tento úkol byl splněn a náš algoritmus byl představen na mezinárodní konferenci IPTA 2010 a přijat k publikaci v časopise IJSISE. Algoritmus využívá rychlého přístupu pro nalezení přibližné pozice duhovky v obraze. Takto získaná přibližná poloha je následně zpřesněna pomocí metod kvadratického programování s omezeními. Námi navržený algoritmus má experimentálně ověřenou přesnost a dosahuje velmi dobrých výsledků, které byly porovnány s existujícími metodami pro lokalizaci duhovky. Navržený přístup vyžaduje ještě další zefektivnění paralelní implementace a ukazuje se jako vhodný také pro implementaci na GPU. Ve třetí etapě se plánuje další zefektivnění vyvíjeného algoritmu pro lokalizaci duhovky a jeho testování na dostupných benchmarcích a nasazení na výpočetní klastry. Dále budou analyzovány a testovány možnosti implementace algoritmu na GPU.

prof. RNDr. Marek Lampart, Ph.D.
Ing. Marie Sadowská, Ph.D.
doc. Ing. Petr Beremlijski, Ph.D.
Ing. Oldřich Vlach, Ph.D.
doc. Mgr. Petr Vodstrčil, Ph.D.
Mgr. Ing. Michal Krumnikl, Ph.D.
Ing. Pavla Hrušková, Ph.D.
doc. Ing. Dalibor Lukáš, Ph.D.
doc. Ing. David Horák, Ph.D.
prof. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D.
doc. Mgr. Vít Vondrák, Ph.D.
doc. Mgr. Petr Kovář, Ph.D.
Ing. Tomáš Fabián, Ph.D.
Ing. Jan Gaura, Ph.D.
prof. Ing. Tomáš Kozubek, Ph.D.
doc. Ing. Martin Čermák, Ph.D.
Ing. Lukáš Mocek
Ing. Petr Kotas
Ing. Vojtěch Sokol
Ing. Martin Menšík
Ing. Martin Kramář
Ing. Rostislav Hrtus, Ph.D.
Ing. Lukáš Pospíšil, Ph.D.
Ing. Martin Stachoň
Ing. Václav Hapla, Ph.D.
Ing. Aleš Ronovský
Mgr. Kristina Motyčková, Ph.D.
Ing. Michal Merta, Ph.D.
Ing. Jan Zapletal, Ph.D.
Ing. Alena Ješko, Ph.D.
Ing. Martin Hasal, Ph.D.
Ing. Adam Silber
Ing. Matyáš Theuer
Bc. Ondřej Zjevík
Ing. Rajko Ćosić
Ing. Lukáš Malý

Obecné výstupy
10 impaktovaných publikací, prezentace na mezinárodních i tuzemských konferencích, 2 grantové přihlášky, rozšíření možností paralelních knihoven MatSol a OOSol, zapojení se do řešení mezinárodního projektu PRACE-1IP.

Tým 1. Distribuované datové struktury a paralelní algoritmy
• Vytvoření paralelních verzí algoritmů mprgp, smale, smalbe, smalse a jejich implementace do hierarchie OOSsolver.
• Implementace Total FETI a Total BETI metod do knihovny OOSol.
• Implementace rozhraní MatSol-OOSol.
• Zpráva o výsledcích testování škálovatelnosti algoritmů.

Tým 2. Úlohy výpočetní mechaniky
• Sepsání popularizačního textu o metodě hraničních prvků.
• Rozšíření MatSolu o paralelní řešení nehladkých úloh tvarové optimalizace.
• Začlenění ACA a Fast Multipole metody do MatSolu.
• Další zefektivnění vyhledávání kontaktů.
• Rozšíření MatSolu o řešení úloh kvazistatiky a plasticity.
• Pokračování ve vývoji škálovatelných řešičů.

Tým 3. Paralelní výpočty v akustice, elektromagnetickém záření a molekulární dynamice
• Aplikace multigrid-SMALBE-FETI na 2D kontaktní úlohy.
• Aplikace paralelní ACA-BEM na 3D spintroniku.
• Aplikace paralelní ACA-BEM na 3D s-polarizovanou magneto-optiku neplanárních struktur.
• Vývoj řešičů založených na kombinaci multigridu, ACA-BEM a BPS.
• Aplikace ACA na interakci částic.
• Testování numerických metod pro výpočet spektra.

Tým 4. Implementace metod diskrétní matematiky
• Další zefektivnění implementace paralelní verze algoritmu DLX.
• Praktické využití implementovaného algoritmu pro rozbor "malých" případů obecných induktivních důkazů v oblasti faktorizace grafů na izomorfní kostry.
• Dokončit teoretické zdůvodnění experimentálně dosažených výsledků při stabilizaci pseudoinverze pomocí fixujících bodů podáním formálního důkazu.

Tým 5. Variační metody v analýze obrazu
• Další zefektivnění algoritmu pro lokalizaci duhovky.
• Sepsání popularizačního textu.