Detail projektu

Matematické modelování a vývoj algoritmů pro výpočetně náročné inženýrské úlohy

SP2015/100

Lukáš Dalibor doc. Ing., Ph.D.

01. 01. 2015 - 31. 12. 2015

1. Úvod Předkládaný projekt se zabývá výzkumem, který probíhá na Katedře aplikované matematiky, v oblasti numerické analýzy, paralelních řešičů, diskrétní matematiky, molekulových simulací a stability dynamických systémů. Volně navazuje na předchozí projekty SGS s názvem "Paralelní řešení výpočetně náročných úloh", které podával prof. Tomáš Kozubek. 2. Cíle projektu Primárním cílem projektu je podpořit studenty doktorského a magisterského studijního programu Výpočetní matematika formou stipendií a aktivní účasti na významných konferencích. Chceme prohloubit jejich účast na katedrálním výzkumu. Dalším cílem projektu je rozvinout výzkum v nových perspektivních oblastech matematiky pro supercomputing. Jedná se zejména o • časo-prostorové konečně-prvkové a hraničně-prvkové diskretizace parciálních diferenciálních rovnic (PDR), • vývoj nových algoritmů pro částicové a molekulové simulace, • tenzorové metody překonávající "curse of dimensionality" např. při řešení Schroedingerovy rovnice. Navážeme také na tradiční témata řešená na katedře: • metody rozložení oblasti, • algoritmy pro kvadratické programování, • optimalizační algoritmy, • základní výzkum v oblasti teorie grafů. 3. Historie týmu Předkladatel je docentem na Katedře aplikované matematiky a zástupcem vedoucího výzkumného programu "Metody numerického modelování v inženýrství" národního superpočítačového centra IT4Innovations, kde je také za VŠB hlavním řešitelem projektu TA ČR na téma ultrazvuková defektoskopie letadel, jejímž příjemcem je Honeywell, s.r.o. Předkladatel byl v minulosti hlavním řešitelem projektu GAČR, členem řešitelských týmů dvou výzkumných záměrů CEZ, projektu AV ČR a projektu SFB "Numerical and Symbolic Scientific Computing" rakouské grantové agentury. Řešitelský tým je složen ze 17 zaměstnanců, 9 interních doktorandů a 23 prezenčních studentů oboru Výpočetní matematika. Počet bodů (na spoluautora) řešitelského týmu v RIV 2013 je 1035, což je 65 bodů na zaměstnance. Kvalitu výzkumu předkládaného v SGS reprezentují také tyto nedávné vybrané publikace: • J. Bouchala, Z. Dostál, T. Kozubek, L. Pospíšil, P. Vodstrčil, On the solution of convex QPQC problems with elliptic and other separable constraints with strong curvature. Applied Mathematics and Computation 247:848-864, 2014. (IF 1.6, Q1) • P. Beremlijski, J. Haslinger, J.V. Outrata, R. Pathó, Shape optimization in contact problems with Coulomb friction and a solution-dependent friction coefficient. SIAM Journal on Control and Optimization 52(5):3341-3370, 2014. (IF 1.389, Q1) • M. Lampart, J. Zapoměl, Dynamics of the electromechanical system with impact element. Journal of Sound and Vibration 332(4):701-713, 2013. (IF 1.857, Q1) • R. Kalus, M. Stachoň, F.X. Gadea, On the competition between linear and perpendicular isomers in photodynamics of cationic argon trimers, Journal of Chemical Physics 137, 2012. (IF 3.122, Q1) • D. Lukáš, P. Kovář, T. Kovářová, M. Merta, A parallel fast boundary element method using cyclic graph decompositions. Numerical Algorithms (IF 1.128). Accepted. (IF 1.005, Q2) 3. Struktura projektu a postup řešení a) Matematické modelování, numerické metody PDR Řešitelský tým: Lukáš, Bouchala, Vodstrčil, Sadowská, Vondráková, Jarošová, Zapletal, Merta, Malý, Hasal a Mgr. studenti V předchozím projektu SGS jsme se zabývali paralelizací metod hraničních prvků (BEM) pro stacionární PDR, přičemž škálovatelnost využívala optimálních rozkladů kompletních grafů na jistých počtech vrcholů (procesů). Výsledkem je impaktovaný článek, řada konferenčních příspěvků a software testovaný na superpočítači Anselm. V tomto projektu chceme algoritmus rozšířit na obecné počty procesů pomocí suboptimálních rozkladů kompletních grafů na obecném počtu vrcholů. Dále se zaměříme na BEM pro časové PDR. Ve spolupráci s dr. Veitem (Chicago) vyvíjíme simultánní časově-prostorovou BEM pro vlnovou rovnici. Tento přístup je inovativní a vhodný zejména pro paralelní řešení úlohy. Podobný přístup (časo-prostorová diskretizace např. do 4d simplexů) se nabízí i pro diskretizace metodou konečných prvků (FEM). Dalším tématem jsou diskretizace tenkostěnných elastických struktur metodami konečných prvků (FEM). V předchozím projektu jsme implementovali 2-dimenzionální prvky skořepinového typu a použili je v rámci projektu TAČR s Honeywell pro ultrazvukovou defektoskopii letadel. Tyto prvky však nezachycují tzv. Lambovy vlny vyššího řádu. Proto v této SGS implementujeme smíšené prvky nedávno navržrné Schoeberlem a Pechstein a použijeme ji pro aplikace v leteckém průmyslu. Budeme pokračovat v BEM pro homogenizaci periodických struktur a zkombinujeme ji s tvarovou optimalizací pro vhodnou inženýrskou aplikaci. Pokročíme v analýze hybridních metod doménové dekompozice umožňujících efektivní implementaci algoritmů na stovky tisíc výpočetních jader. Budeme dále kombinovat FEM a BEM v doménové dekompozici. Začneme studovat tenzorové metody pro paralelní řešení vysoce-dimenzionálních PDR, např. Schroedingerovy rovnice nebo stochastické PDR. b) Optimalizace, kontaktní úlohy Řešitelský tým: Beremlijski, Dostál, Vlach, Horák, Pospíšil, Vašatová a Mgr. studenti Prvním typem úloh, kterými se zabýváme, jsou kontaktní problémy formulované jako minimalizační problém. V tomto přístupu budeme řešit soustavu nelineárních rovnic a omezujících nerovnostních podmínek na rovnostní omezení, ve kterých se budou vyskytovat nehladké funkce. K řešení využijeme semihladkou Newtonovu metodu, ve které je potřeba derivovat matice tuhosti, a kontaktní matice. Cílem je 2D implementace zmíněného přístupu do knihovny MatSol a srovnání s existujícími benchmarky. Při řešení úloh tvarové optimalizace pro kontaktní úlohy se třením se budeme nadále zabývat úlohami s modely tření jako je Coulombovo tření s koeficientem tření závislým na řešení kontaktní úlohy. V tomto roce provedeme experimenty v knihovně MatSol s řešením 3D úloh. Pro tyto úlohy je nutno vyvinout citlivostní analýzu zohledňující tento model. Tuto citlivostní analýzu můžeme provést analyticky s využitím tzv. limitní Morduchovičovy koderivace. Jinou možností je nahradit citlivostní analýzu pouze přibližným výpočtem. Pro řešení tvarově optimalizačních úloh, které vedou na minimalizaci nediferencovatelné funkce, je třeba použít vhodné algoritmy. K tomuto účelu chceme implementovat tzv. proximal bundle metodu a porovnat tuto metodu s jiným typem bundle metody, bundle trust metodou. Další oblastí, kterou se chceme opětovně zabývat, je zpracování obrazu. Pro tento úkol použijeme waveletovou transformaci, kterou efektivně implementujeme. Tuto transformaci můžeme využít pro odstranění šumu, úpravě kontrastu, kompresi obrazu apod. Další podoblastí zpracování obrazu je 3D registrace obrazu, kterou chceme implementovat paralelně a využít ji pro účely lékařské diagnostiky. c) Diskrétní matematika Řešitelský tým: Kovář, Kovářová, Kubesa, Hrušková, Silber, Kravčenko, Krbeček a Mgr. studenti Ve skupině diskrétní matematiky plánujeme navázat na sérii výsledků týkající se minimalizace nejvyššího odchozího stupně orientace rovinného grafu. Tyto orientace hrají roli při paralelizaci numerického výpočtu. Nejprve plánujeme popsat alespoň jednu nekonečnou třídu grafů, která má lokálně omezenou složitost (například pomocí arboricity i průměrného stupně), a později navrhnout algoritmus, který by efektivně řešil úlohu minimalizace nejvyššího odchozího stupně pro grafy z uvedené třídy. d) Molekulové simulace, dynamické systémy Řešitelský tým: Kalus, Lampart, Cosic a Mgr. studenti Popis mikroskopických systémů na plně kvantové úrovni (např. kvantověchemické výpočty elektronové struktury molekul a molekulových komplexů či modelování kvantových efektů v jaderných stupních volnosti) patří mezi hlavní konzumenty stále rostoucího výpočetního výkonu moderních superpočítačů. V rámci tohoto projektu SGS se hodláme v části "molekulová dynamika" zaměřit právě tímto směrem. 1) analyzovány budou jednoduché problémy výpočtu elektronové struktury molekul s hlavním zaměřením na identifikaci moderní matematických metod pro jejich řešení (diplomová práce Bc. Mrowce); 2) budou využity stochastické metody Monte Carlo pro modelování kvantových systémů nerozlišitelných bosonů v kontaktu s termostatem (dizertační práce Ing. Ćosiće). V inženýrských aplikacích se setkáváme s jevy, které jsou jak periodické či kvaziperiodické, tak iregulární a chaotické. Cílem práce je studium daných jevů na vhodných modelech pomocí standardních i nových metod.

prof. RNDr. Marek Lampart, Ph.D.
Ing. Marie Sadowská, Ph.D.
doc. Ing. Petr Beremlijski, Ph.D.
Ing. Oldřich Vlach, Ph.D.
doc. Mgr. Petr Vodstrčil, Ph.D.
Ing. Marta Jarošová, Ph.D.
Ing. Pavla Hrušková, Ph.D.
doc. Ing. Dalibor Lukáš, Ph.D.
doc. Ing. David Horák, Ph.D.
prof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.
RNDr. Michael Kubesa, Ph.D.
prof. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D.
RNDr. Petra Vondráková, Ph.D.
Mgr. Tereza Kovářová, Ph.D.
doc. Mgr. Petr Kovář, Ph.D.
prof. RNDr. René Kalus, Ph.D.
Ing. Lukáš Pospíšil, Ph.D.
doc. Ing. Dalibor Lukáš, Ph.D.
Ing. Michal Merta, Ph.D.
Ing. Jan Zapletal, Ph.D.
Ing. Alena Ješko, Ph.D.
Ing. Martin Hasal, Ph.D.
Ing. Adam Silber
Ing. Rajko Ćosić
Ing. Lukáš Malý
Bc. Eliška Čabajová
Ing. Ladislav Foltyn
Ing. Michal Kravčenko
Ing. Matěj Krbeček
Ing. Nikola Plívová
Ing. Michaela Bailová, Ph.D.
Ing. Martin Mrovec
Bc. Jiří Blahoš
Ing. Tom Raiman
Ing. Erika Viščorová
Ing. Jakub Závada
Ing. Jan Pacholek
Ing. Lukáš Mihula
Bc. Tomáš Kalinec
Bc. Jiřina Guniová
Bc. Veronika Balcárková
Bc. Martin Koběrský
Mgr. Václav Sitta
Bc. Kateřina Volná
Bc. Michal Votípka
Bc. Petra Havlová
Bc. Štěpán Bernady
Ing. Lenka Vozárová
Bc. Lubomír Pavlas
Bc. Štěpán Bednařík

4. Obecné výstupy projektu:

• články v (Q1) impaktovaných časopisech,
• články ve sbornících mezinárodních i tuzemských konferencí,
• grantové přihlášky,

• základní výzkum,
• vývoj paralelního software a ověření škálovatelnosti na superpočítači Anselm,
• pokračování stávající a navázání nové spolupráce s průmyslem.


5. Dílčí cíle

Ad a) Matematické modelování, numerické metody PDR
• Vývoj paralelní BEM pro stacionární i nestacionární PDR.
• Implementace smíšených FEM pro tenkostěnné struktury a použití pro defektoskopii letadel.
• Tvarová optimalizace v homogenizaci pomocí BEM.
• Analýza hybridních metod rozložení oblasti.
• Zahájení výzkumu v nových oblastech: časo-prostorové FEM, tenzorové metody.

Ad b) Optimalizace, kontaktní úlohy
• Implementace řešení 2D kontaktní úlohy.
• Implementace proximal bundle metody.
• Řešení úloh tvarové optimalizace pro kontaktní úlohy s různými modely tření.
• Implementace waveletové transformace a její využití pro zpracování obrazu.
• Implementace 3D registrace obrazu a aplikace pro lékařskou diagnostiku.

Ad c) Diskrétní matematika
• Návrh algoritmu, který by efektivně řešil úlohu minimalizace nejvyššího odchozího stupně pro jiné (hustší), než planární grafy.
• Popis třídy grafů s lokálně omezenou složitostí, pro kterou existuje efektivní algoritmus.

Ad d) Molekulové simulace, dynamické systémy
• Zpracování rešerše metod pro výpočty elektronové struktury molekul jako východisko pro zapojení dalších generací studentů katedry do matematického výzkumu v této oblasti.
• Implementovat algoritmus dráhového integrálu do výpočtů metodou Monte Carlo a pilotně využít vytvořený softwarový balík pro simulace fyzikálních vlastností nanokapek helia.
• Kvantifikace dynamických vlastností (chaosu) diskrétních i spojitých dynamických systémů, systémů motivovyných reálnými problémy (např. z mechaniky).